【数学B】数列17：群数列

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

群数列とは？

数列をいくつかのまとまりに区切ったものを 群数列 といい、1つひとつのまとまりを 群 といいます。

たとえば、正の偶数を、第 \(n\) 群に \(n\) 個ずつ入るように区切ると、次のようになります。

群数列では、1つの数を「第何群の何番目」と「最初から何番目」の2通りで表せます。

たとえば \(10\) は「第3群の2番目」であり、「最初から5番目」でもあります。

この2つを行き来できるようにするのがポイントです。

第n群の終わりまでに何個あるかを求める

第1群に1個、第2群に2個、第3群に3個、…と入るので、第 \(n\) 群の終わりまでに入っている数の個数は、次のようになります。

\(1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1)\)

たとえば第3群の終わりまでには \(\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6\) 個の数があり、実際に \(12\) は最初から6番目です。

群数列の最初の数と群の和を求める

第n群の最初の数を求める

まず、各群の項数を調べます。

第1群に1個、第2群に2個、第3群に3個、…と入っているので、各群の項数の数列は \(1,\ 2,\ 3,\ \cdots\) で、第 \(k\) 群には \(k\) 個の数が入っています。

次に、第 \(n\) 群の終わりまでの項数の和を求めておきます。

\(1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1)\)

(1) では、第 \(n\) 群の1番目 が 最初から何番目 かを考えます。

第 \(n\) 群の最初の数は、第 \(n-1\) 群の最後の数の次の数です。

第 \(n-1\) 群の終わりまでの個数は、下準備で求めた式 \(\frac{1}{2}n(n+1)\) の \(n\) に \(n-1\) を代入して求めます。

第 \(n\) 群の最初の数はその次の数なので、最初から \({\color{#E9548E}{\frac{1}{2}(n-1)n+1}}\) 番目となります。

元の数列は正の偶数なので、第 \(k\) 項は \(2k\) です。

この \(k\) に、いま求めた番号を代入します。

よって、第 \(n\) 群の最初の数は \(n^2-n+2\) です。

\(n=3\) を代入すると \(8\) となり、図と一致します。

第10群に入る数の和を求める

(2) では、(1) の結果から、第10群の最初の数は \(10^2-10+2=92\) です。

第10群には \(92\) から始まる偶数が10個入るので、初項 \(92\)、公差 \(2\)、項数 \(10\) の等差数列の和になります。

\(S=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot\{2\cdot 92+(10-1)\cdot 2\}={\color{#EE4656}{1010}}\)

練習問題

答えを見る

各群の項数は \(1,\ 2,\ 3,\ \cdots\) であるから、第 \(n\) 群の終わりまでの項数の和は　\(\frac{1}{2}n(n+1)\)

(1)　第 \(n\) 群の最初の数は最初から \(\frac{1}{2}(n-1)n+1\) 番目で、第 \(k\) 項は \(2k-1\) であるから

\(2\left\{\frac{1}{2}(n-1)n+1\right\}-1=\) \(n^2-n+1\)

(2)　第15群の最初の数は \(211\) であるから　\(S=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot(2\cdot 211+14\cdot 2)=\) \(3375\)

まとめ：群数列