今日の板書はこれ！
■ 和 \(S_n\) と一般項 \(a_n\) の関係
和 \(S_n\) から一般項を求めることができる。
\(n\geqq 2\) のとき \(a_n=S_n-S_{n-1}\)
\(n=1\) のとき \(a_1=S_1\)
※ \(n=1\) のとき \(a_1=S_1-S_0\) となってしまう。
初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) が \(S_n=n^2+2n\) で表される数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
▼ 解答
\(n\geqq 2\) のとき
\(\begin{aligned}a_n&={\color{#45A3DA}{S_n}}-{\color{#E9548E}{S_{n-1}}}\\[8pt]&=(n^2+2n)-\{(n-1)^2+2(n-1)\}\\[8pt]&=2n+1\end{aligned}\)
この式を①とする。
\(n=1\) のとき \(a_1=S_1=1^2+2\cdot 1=3\)
これは①に \(n=1\) を代入した値と一致する。
よって \(a_n=2n+1\)
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和Snから一般項anを求める考え方
\(S_n\) は初項から第 \(n\) 項までの和、\(S_{n-1}\) は初項から第 \(n-1\) 項までの和です。
2つを並べてみると、違いは最後の \(a_n\) だけです。
式で書いて引き算すると、共通部分がすべて消えます。
\(\begin{array}{r@{\;\;}c@{\;\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c@{\;}c} {\color{#45A3DA}{S_n}}&=&a_1&+&a_2&+&\cdots&+&a_{n-1}&+&a_n\\ -)\ {\color{#E9548E}{S_{n-1}}}&=&a_1&+&a_2&+&\cdots&+&a_{n-1}&&\\ \hline S_n-S_{n-1}&=&&&&&&&&&a_n\end{array}\)
よって、次の関係が成り立ちます。
\({\color{#EE4656}{a_n}}={\color{#45A3DA}{S_n}}-{\color{#E9548E}{S_{n-1}}}\) （\(n\geqq 2\)）
ただし、\(n=1\) のときは \(S_0\) という意味のない和が出てくるので、この式は使えません。
初項は、和の定義から \(a_1=S_1\) として求めます。
「全部の和」から「1つ手前までの和」を引けば、最後の1項だけが残るということだね！
和Snの式から一般項を求める
初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) が \(S_n=n^2+2n\) で表される数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。
\(n\geqq 2\) のとき、\(S_{n-1}\) は \(S_n\) の \(n\) を \(n-1\) に置きかえたものです。
\(\begin{aligned}a_n&={\color{#45A3DA}{S_n}}-{\color{#E9548E}{S_{n-1}}}\\[8pt]&=(n^2+2n)-\{(n-1)^2+2(n-1)\}\\[8pt]&=n^2+2n-(n^2-1)\\[8pt]&=2n+1\end{aligned}\)
この式を①とします。
\(n=1\) のときは、\(a_1=S_1=1^2+2\cdot 1=3\) です。
これは①に \(n=1\) を代入した \(2\cdot 1+1=3\) と一致するので、①は \(n=1\) のときも成り立ちます。
よって \(a_n=2n+1\) です。
\(a_1=S_1\) が①に \(n=1\) を代入した値と一致しないときは、1つの式にまとめられません。
その場合は「\(a_1=S_1\)、\(n\geqq 2\) のとき \(a_n=\)（①の式）」のように分けて答えます。
練習問題
初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) が \(S_n=n^2-n\) で表される数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を求めよ。
答えを見る
\(n\geqq 2\) のとき \(a_n=(n^2-n)-\{(n-1)^2-(n-1)\}=2n-2\)
\(a_1=S_1=0\) は、これに \(n=1\) を代入した値と一致する。
よって \(a_n=2n-2\)
初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) が \(S_n=n^2+1\) で表される数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) を求めよ。
答えを見る
\(n\geqq 2\) のとき \(a_n=(n^2+1)-\{(n-1)^2+1\}=2n-1\)
\(a_1=S_1=2\) は、\(2n-1\) に \(n=1\) を代入した値 \(1\) と一致しない。
よって \(a_1=2\)、\(n\geqq 2\) のとき \(a_n=2n-1\)
まとめ：和Snと一般項anの関係
さて、今回のまとめだよ！
■ 和 \(S_n\) と一般項 \(a_n\) の関係
和 \(S_n\) から一般項を求めることができる。
\(n\geqq 2\) のとき \(a_n=S_n-S_{n-1}\)
\(n=1\) のとき \(a_1=S_1\)
※ \(n=1\) のとき \(a_1=S_1-S_0\) となってしまう。
また一つ賢くなった！
一人だと続かない人は、こんな方法もあるよ！
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