【数学B】数列15：分数の数列の和（部分分数分解）

さん

今日の板書はこれ！

分数の数列の和

■ 分数の数列の和
部分分数分解を利用し、一般項を差の形にする。

\(\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)\)

例題

次の和 \(S\) を求めよ。
\(S=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\)

▼ 解答

\(\begin{aligned}\frac{1}{k(k+1)}&=\frac{1}{(k+1)-k}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\[8pt]&={\color{#45A3DA}{\frac{1}{k}}}-{\color{#E9548E}{\frac{1}{k+1}}}\end{aligned}\)

より

\(\begin{aligned}S&=\left({\color{#45A3DA}{1}}-\tfrac{1}{2}\right)+\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\tfrac{1}{n}-{\color{#E9548E}{\tfrac{1}{n+1}}}\right)\\[8pt]&=1-\tfrac{1}{n+1}\\[8pt]&={\color{#EE4656}{\tfrac{n}{n+1}}}\end{aligned}\)

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さん

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部分分数分解で一般項を差の形にする
打ち消し合いを使って分数の和を求める
練習問題
まとめ：分数の数列の和

部分分数分解で一般項を差の形にする

\(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\) を通分すると \(\frac{3-2}{2\cdot 3}=\frac{1}{2\cdot 3}\) となります。

逆に見ると、\(\frac{1}{2\cdot 3}\) は2つの分数の差 \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\) に分けられるということです。

このように、分母が積になっている分数を、分数の差に分けることを部分分数分解といいます。

一般に、次の式が成り立ちます。

\(\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)\)

右辺を通分すると \(\frac{1}{B-A}\cdot\frac{B-A}{AB}\) となり、左辺に戻ることが確かめられます。

分母の2つの因数の差 \(B-A\) で割っておくのがポイントです。

さん

分母の2つの数の差が1なら、前の \(\frac{1}{B-A}\) は1になるから、そのまま差に分けるだけでいいよ！

打ち消し合いを使って分数の和を求める

例題

次の和 \(S\) を求めよ。
\(S=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\)

第 \(k\) 項は \(\frac{1}{k(k+1)}\) です。

分母の2つの因数 \(k\) と \(k+1\) の差は \(1\) なので、部分分数分解すると次のようになります。

\(\begin{aligned}\frac{1}{k(k+1)}&=\frac{1}{(k+1)-k}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\[8pt]&={\color{#45A3DA}{\frac{1}{k}}}-{\color{#E9548E}{\frac{1}{k+1}}}\end{aligned}\)

これを使って、\(S\) の各項を差の形に書きかえます。

すると、ある項の 引く部分 と、次の項の 足す部分 が同じ数になり、打ち消し合います。

途中の項がすべて消えて、最初の \(1\) と最後の \(-\frac{1}{n+1}\) だけが残るのが、この方法のポイントです。