【数学B】数列16：（等差）×（等比）型の数列の和

現役教員として数学を教えている「さん」と申します。

「人より勉強に時間がかかる」と感じていませんか？私の学校にも、同じ悩みを抱えて苦しんでる生徒がたくさんいます。

「教科書や参考書の内容がわからなくて、読むのに時間がかかる」「解答の意味が理解できず、勉強が進まない」教科書や参考書の内容を理解するには、「自分なりに噛み砕いて考える力」が必要です。

でも大丈夫！このサイトでは、私が受けた質問や、つまずきポイントをもとに、わかりやすく解説していきます。

意味から理解し、噛み砕き方をマスターしましょう！！

（等差）×（等比）型の数列とは？

\(1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots+n\cdot 2^{n-1}\) の各項は、等差数列 \(1,\ 2,\ 3,\ \cdots\) と、等比数列 \(1,\ 2,\ 2^2,\ \cdots\) を掛け合わせた形になっています。

第 \(k\) 項は　\({\color{#F39800}{k}}\cdot {\color{#8E44AD}{2^{k-1}}}\)　です。

このような数列を（等差）×（等比）型といいます。

この和は、等差数列や等比数列の和の公式をそのまま使うことはできません。

そこで、等比数列の和の公式を導いたときと同じ方法を使います。

公比を掛けてずらして引く

等比数列の部分の公比は \(2\) です。

\(S\) の両辺に \(2\) を掛けた \(2S\) を、\(2\) の累乗がそろうように1つずらして並べます。

上から下を引くと、縦に並んだ項は \(2\cdot 2-1\cdot 2=1\cdot 2\)、\(3\cdot 2^2-2\cdot 2^2=1\cdot 2^2\) のように、係数がすべて \(1\) になります。

\(1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}\) は、初項 \(1\)、公比 \(2\)、項数 \(n\) の等比数列の和です。

和の公式を使うと、次のように計算できます。

両辺に \(-1\) を掛けて、\(S=(n-1)\cdot 2^n+1\) となります。

練習問題

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\(S-3S\) を計算すると　\(-2S=(1+3+3^2+\cdots+3^{n-1})-n\cdot 3^n=\frac{3^n-1}{2}-n\cdot 3^n\)

よって　\(S=\frac{(2n-1)\cdot 3^n+1}{4}\)

まとめ：（等差）×（等比）型の数列の和